The Learning Curve/The Learning Curve (Weird Science, 1996).iso/mathematics/plotters/complexplot/german/komplexplotter.doc

Text File | 1993-04-11 | 30.0 KB | 824 lines

    Anleitung zum Komplexen Funktionsplotter


    1. Einleitung

    Bei diesem Programm handelt es sich um einen "Funktionsplotter",
    mit dem nahezu beliebige Mengen komplexer Zahlen durch Funktionen
    abgebildet werden können.

    Aus dieser Aussage dürften die wenigsten Normalbürger schlau werden,
    daher möchte ich das ein wenig beschreiben: Komplexe Zahlen sind
    vergleichbar mit zweidimensionalen Punkten (X- und Y-Koordinate
    nennt man Real- und Imaginärteil), und Mengen von komplexen
    Zahlen kann man daher als Zeichnung oder Bild interpretieren. Auf
    komplexe Zahlen kann man genauso Funktionen wirken lassen, wie man
    das von den allgemein üblichen reellen (oder rationalen) Zahlen
    gewohnt ist.

    Die meisten für reelle Zahlen geläufigen Funktionen sind nämlich
    auch für komplexe Zahlen definiert, z.B. die Sinus- oder die
    Exponentialfunktion. So wie die reellen Funktionen jeder Zahl
    (des Definitionsbereichs) eine neue Zahl zuordnen, bilden die
    komplexen Funktionen die zweidimensionalen Punkte auf andere
    Punkte ab. Aus der Ursprungszeichnung wird eine neue, durch
    die Funktion veränderte Zeichnung. Und damit sind wir beim Kern
    der Sache: bei diesem Funktionsplotter handelt es sich um ein
    flexibles Werkzeug der Bildveränderung.

    So kann man zum Beispiel Bilder verzerren, umbiegen, "von innen
    nach außen" kehren, an bestimmten Punkten aufblähen etc. Das
    Ganze führt oft zu interessanten (oder sogar witzigen) Resultaten.

    Zur Eingabe des Urbilds besitzt das Programm einen Editor, bei dem
    man u.a. mit der Maus frei zeichnen kann. Außerdem gibt es zwei
    Figurengeneratoren (kartesische und polare Netze), die zum
    systematischen Untersuchen des Abbildungsverhaltens einer Funktion
    gut geeignet sind. Bilder können natürlich auf Diskette gespeichert
    werden. Außerdem kann man das durch die Funktion veränderte Bild
    in den Urbildspeicher übertragen und wieder abbilden lassen
    (mehrmals wiederholt kann so ein Film-Effekt entstehen und z.B.
    das Konvergenzverhalten der Funktion untersucht werden).

    Das Programm eignet sich somit gut zum Herumexperimentieren und
    Spielen, aber auch für gezielte mathematische Aufgaben (z.B.
    Untersuchung des Konvergenzverhaltens, der Fixpunkte, Singularitäten,
    Periodizität).

    Außerdem ist es möglich, andere Typen an Funktionsplottern zu
    emulieren, z.B. die "normalen" Funktionsplotter, die die all-
    bekannten Bildchen von Parabeln, Hyperbeln, Sinuskurven etc.
    erzeugen. Dazu mehr im Kapitel "Emulation anderer Funktions-
    plotter-Typen".

    Der verwendete mathematische Hintergrund ist bei weitem nicht
    Allgemeinwissen. Wer sich mehr dafür interessiert, kann versuchen,
    mit Büchern für Höhere Mathematik oder Funktionentheorie schlauer
    zu werden. Man kann´s aber auch lassen und einfach mit dem
    Programm herumexperimentieren (zum Vergleich: die Bilder der
    Fraktalgeometrie findet auch jeder schön, aber wieviel verstehen
    schon wirklich, wie sie entstehen).



    2. Die Bedienung des Programms

    Das Programm kann sowohl vom CLI mit Plotter/German/KomplexPlotter
    als auch von der Workbench aus gestartet werden. Es benötigt die
    Library "MathTrans.library" (muß auf der Systemdiskette im Ver-
    zeichnis Libs stehen). Außerdem sollte 1MB Ram vorhanden sein
    (mit 512KB könnte das Programm auf einem absoluten Minimal-System
    gerade noch laufen, aber ohne Gewähr).

    Wenn das Programm nicht startet, ist entweder die Mathtrans-
    Library nicht vorhanden oder zu wenig Speicher frei.

    Es gibt drei verschiedene bildschirmgroße Windows, zwischen
    denen beliebig hin- und hergeschaltet werden kann. Im ersten
    Window "Einstellungen" werden die zu plottende Funktion ein-
    gegeben und die Grenzen der beiden anderen Windows gesetzt.
    Bei diesen beiden handelt es sich nämlich um die Windows, in
    denen das Urbild bestimmt ("Definitionsbereich-Editor") und
    die durch die Funktion erzeugte Abbildung angezeigt wird
    ("Bildbereich").

    Jedes Window hat eine eigene Menüleiste, die wie üblich mit
    der rechten Maustaste aktiviert wird. Manche Programmfunk-
    tionen sind von jedem Window aus erreichbar, während viele
    jeweils nur für ein Window existieren.

    Die meisten Funktionen lassen sich auch durch Tastenkombina-
    tionen aufrufen, die bei den entsprechenden Menüpunkten an-
    gezeigt werden (rechte Amiga-Taste plus Buchstabentaste).

    Der typische Ablauf eines Funktionenplots sieht also so aus:
    Man gibt zuerst die gewünschte Funktion ein und wählt die
    Grenzen des Definitionsbereich-Windows. Dann geht man in den
    Definitionsbereich-Editor und bestimmt die Figur, die abge-
    bildet werden soll. Dabei kann man sowohl auf Standard-
    Figuren zurückgreifen, als auch mit der Maus herumzeichnen.

    Danach läßt man den Amiga die eingegebene Figur mit der kom-
    plexen Funktion abbilden, und kann das Ergebnis dann in
    Bildbereich-Window bewundern. Dabei kann man die Grenzen des
    Bildbereich-Windows auch automatisch berechnen lassen, indem
    man im Einstellungs-Window auf "Automatik" schaltet (Mini-
    mum-Maximum-Bestimmung).

    Danach kann man mit der Maus verschiedene Ausschnitte des
    Bildes vergrößern, um sich Details anzusehen. Auch ist es
    möglich, das erzeugte Bild wiederum als Urbild für eine neue
    Berechnung herzunehmen, indem man den Inhalt des Bildbe-
    reichs in den Definitionsbereich kopiert. Bei geeigneter
    Wahl der komplexen Funktion ist es so möglich, filmähnliche
    Bildfolgen zu erstellen.

    Insgesamt sind die Möglichkeiten sehr vielfältig und lassen
    sich gar nicht so leicht auf einen Blick aufzeigen. In den
    folgenden Kapiteln wird mehr darauf eingegangen, wie man die
    Programmfunktionen entsprechend nutzt; hier folgt erst ein-
    mal eine komplette Auflistung der Programmelemente.


    2.1 Einstellungs-Window

    Hier werden wichtige Grundeinstellungen vorgenommen. So muß
    man hier die komplexe Funktion eingeben, mit der gearbeitet
    werden soll. Dazu klickt man mit der Maus das ausgezeichnete
    Eingabefeld an und gibt die Funktion ein. Als Variable ist z
    zu verwenden. Zur Syntax unten mehr.

    Als zweites kann man hier die Grenzen der beiden anderen
    Windows im Fließkomma-Format eingeben. Man sollte darauf
    achten, daß die rechte Grenze größer ist als die linke, und
    die obere größer als die untere, sonst erhält man beim Auf-
    ruf des entsprechenden Windows eine Fehlermeldung.

    Für das Bildbereich-Window kann man auf der echten Seite mit
    Hilfe zweier Schalter bestimmen, ob die Grenzen automatisch
    berechnet oder die eingegebenen Werte benutzt werden sollen.
    Normalerweise wird man sich der "Automatik" bedienen, die
    bewirkt, daß bei jedem Aktivieren des Bildbereich-Windows
    dessen Grenzen automatisch ermittelt werden. Wenn man aller-
    dings eine eigene Einstellung wünscht, kann man sie mit "Ma-
    nuell" benutzen.

    Auf der rechten Seite findet man dann auch die zwei Knöpfe
    "Zeigen/Editieren" und "Zeigen", mit denen man den Defini-
    tionsbereich-Editor aufrufen und den Bildbereich anzeigen
    lassen kann.

    Mit dem Knopf "PLOTTEN" kann man dann den Definitionsbereich
    abbilden lassen, doch das liefert natürlich nur ein Ergeb-
    nis, wenn man vorher mit dem Editor einen Definitionsbereich
    bestimmt hat.

    Die Menüleiste liefert im Wesentlichen die gleichen Funktio-
    nen:


     1) Grundfunktionen:

     a) Plotten (Amiga-P)
        Entspricht dem Knopf "PLOTTEN", veranlaßt also das Be-
        rechnen des Bildes. Nach der Berechnung wird automatisch
        auf das Bildbereich-Window umgeschaltet, um das Ergebnis
        anzuzeigen.

     b) Programmende
        Hiermit wird das Programm beendet (nach einer Sicher-
        heitsabfrage).


     2) Windows:

     a) Definitionsbereich (Amiga-D)
        Entspricht dem Knopf "Zeigen/Editieren", mit dem man den
        Definitionsbereich-Editor aufrufen kann; es wird also
        das entsprechende Window aktiviert.

     b) Bildbereich (Amiga-B)
        Entspricht dem Knopf "Zeigen", damit kann man also auf
        das Bildbereichs-Window umschalten, um sich das berech-
        nete Bild anzusehen.

     c) Automatik (Amiga-A)
        Entspricht dem Schalter "Automatik", veranlaßt also, daß
        beim jedem Aufruf des Bildbereich-Windows die Grenzen
        automatisch bestimmt werden.

     d) Manuell (Amiga-M)
        Entspricht dem Schalter "Manuell", bewirkt also, daß die
        Grenzen für den Bildbereich verwendet werden, die man
        auf diesem Window eingegeben hat.


    2.2 Syntax der Fließkommazahlen und der Funktion

    Zahlen kann man in normaler und in Exponenten-Schreibweise
    eingeben. Sie können einen Bereich von etwa +/- 1e-19 bis
    +/- 9e18 annehmen.

    Imaginärteile werden durch ein angehängtes "i" gekenntzeich-
    net. Es ist auch möglich "*i" anzuhängen, oder "i*" voranzu-
    stellen, jedoch werden bei der ersten Methode die Zahlen
    direkt als imaginäre eingelesen, und in der zweiten Methode
    als reelle, die dann mit i multipliziert werden. Somit ist
    die zweite Methode in der Auswertung langsamer.

    Hier ein paar Beispiele:

        0.52578        entspricht auch .52578 oder +.52578
        -598.1245
        1.42e6        entspricht auch 1.42*10^6
        7.34e-8        entspricht auch 7.34*10^-8
        6.345i        entspricht auch 6.345*i oder i*6.345
        12+8i
        3-.5i

    Es steht eine reichhaltige Auswahl an Verknüpfungen und
    Funktionen zur Verfügung. Diese sind im einzelnen:

        ...+...         Addition
        ...-...         Subtraktion
        ...*...         Multiplikation
        .../...         Division
        ...^...         Potenzieren (Hauptzweig)
        re(...)         Realteil einer komplexen Zahl
        im(...)         Imaginärteil einer komplexen Zahl
        abs(...)        Betrag einer komplexen Zahl
        arg(...)        Argument (Winkel) einer komplexen Zahl
        con(...)        Konjugiert komplexe Zahl
        sqrt(...)       Quadratwurzel (Hauptzweig)
        exp(...)        Exponentialfunktion
        log(...)        Logarithmus (Hauptzweig)
        sin(...)        Sinusfunktion
        cos(...)        Cosinusfunktion
        tan(...)        Tangensfunktion
        sinh(...)       Sinus Hyperbolicus
        cosh(...)       Cosinus Hyperbolicus
        tanh(...)       Tangens Hyperbolicus
        arcsin(...)     Arcus Sinus (Umkehrung des Sinus)
        arccos(...)     Arcus Cosinus (Umkehrung des Cosinus)
        arctan(...)     Arcus Tangens (Umkehrung des Tangens)
        arsinh(...)     Area Sinus (Umkehrung des Sinus Hy.)
        arcosh(...)     Area Cosinus (Umkehrung des Cosinus Hy.)
        artanh(...)     Area Tangens (Umkehrung des Tanges Hy.)
        int(...)        Vorkommateile von Real- und Imaginärteil
        sgn(...)        Vorzeichen von Real- und Imaginärteil
        swap(...)       Vertauscht Real- und Imaginärteil

    Zur Wirkung der Funktionen ist im 3. Kapitel mehr zu finden.

    Des weiteren kann man folgende Symbole benutzen:

        z        Die Variable. Hierfür werden dann die
            Punkte des Definitionsbereichs eingesetzt.
        x        Realteil der Variablen (entspricht also
            re(z)).
        y        Imaginärteil der Variablen (entspricht
            also im(z)).
        pi        Die beliebte Konstante 3.1415927...

    Natürlich beherrscht das Programm Potenzierung vor Punkt-
    vor Strich-Rechnung. Außerdem kann man bis zu zehn Klammer-
    ebenen verwenden. Leerstellen werden überlesen, und Groß- und
    Kleinschreibung spielt keine Rolle. Zum Schluß noch ein paar
    Beispiele (sie demonstrieren die Syntax, sind aber nicht un-
    bedingt zum Ausprobieren gedacht):

        2*sin(z/(cos(z)+exp(z)))+6i
        (i*z+exp(z))*(z^2)
        (-z)^(x+y)
        abs(z)*exp(i*(arg(z)+pi/4))


    2.3 Definitionsbereich-Window

    In diesem Window wird festgelegt, welche Punkte durch die
    Funktion abgebildet werden sollen. Dazu steht ein Editor zur
    Verfügung, und es können einige Grundfiguren abgerufen wer-
    den. Sämtliche Funktionen des Editors werden über die Menü-
    leiste bzw. durch die entsprechenden Tastencodes aufgerufen.

    Auf der Windowleiste oben ist immer die Position des Maus-
    zeigers in den Fließkommakoordinaten angezeigt. Bewegt man
    den Mauszeiger z.B. in die rechte untere Ecke, erscheinen
    die rechte und untere Grenze, die man im Einstellungs-Window
    angegeben hatte.

    Außerdem wird immer der aktuelle Zeichenmodus angegeben, das
    ist zu Beginn "Zeichnen". In diesem Modus kann man mit der
    Maus auf der Windowfläche freihandzeichnen.
    Weitere Modi sind "Linien", "Kreise", "Füllen" und
    "Schnitt". Mit dem Linienmodus kann man Linien zeichnen,
    wobei der Start- und Endpunkt in den Definitionsbereich-
    Speicher übertragen werden. Beim Kreismodus werden 36 Eck-
    punkte gespeichert, und beim Füllen der Punkt, um den
    gefüllt wird.

    Sobald man einige Punkte gezeichnet hat, kann man mit dem
    Menüpunkt "Angleichen" die Windowgrenzen der Zeichnung an-
    passen, genauso, wie es der Automatik-Modus des Bildbereichs
    es macht. Mit "Herauszoomen" wird das Intervall des Bild-
    schirms in beide Richtungen verdoppelt, so daß die Zeichnung
    verkleinert wird. Oft ist es sinnvoll, die Figur aus einigem
    Abstand zu betrachten, um sie zusammenhängender zu sehen.
    Schließlich kann man mit "Ausschnitt" einen beliebigen Aus-
    schnitt des Windows vergrößern. Mit der Maus muß man dabei
    zwei gegenüberliegende Eckpunkte des Ausschnitts angeben.

    Hat man einmal ausversehen etwas falsch gemacht, kann man
    die letzte Aktion mit "Undo" wieder rückgängig machen. Dies
    ist insbesondere beim Füllmodus sinnvoll, da bei einem falsch
    gesetztem Füllpunkt leicht das ganze Bild ausgefüllt werden kann.

    Mit "Laden" und "Speichern" kann man fertige Zeichnungen
    laden bzw. das gemalte Bild speichern. Dabei erscheint ein
    Filerequester, der selbsterklärend sein dürfte.

    "Fischernetz" und "Spinnennetz" nennen sich die zwei Figu-
    rengeneratoren, mit denen man Grundfiguren erzeugen kann,
    die sich besonders dazu eignen, das Verhalten einer komple-
    xen Funktion systematisch zu ergründen.

    Das Fischernetz besteht dabei aus einer regelmäßigen Anord-
    nung von horizontalen und vertikalen Linien, deren Kreuzungs-
    punkte gespeichert werden. In einem Einstellungswindow
    kann man die Position des Netzes bestimmen. Außerdem wird
    dort angegeben, wieviele horizontale und vertikale Unter-
    teilungen vorgenommen werden sollen (0 bis 999). So ent-
    steht bei einer vertikalen Unterteilungszahl von 1 ein
    Balken, bei einer Unterteilungszahl von 0 ein Strich. Das
    Prinzip ist ganz einfach; man sollte ruhig ein wenig auspro-
    bieren.

    Das Spinnennetz sieht so aus, wie es heißt. Man bestimmt
    einen Mittelpunkt, den Radius, und die Anzahl der Strahlen
    (3 bis 99) und Umläufe (1 bis 99) der Figur. Auch hier
    sollte man ausprobieren, denn so versteht man die Bedeutung
    der Parameter am schnellsten.

    Hier die Befehle der Menüleiste:

     1) Grundfunktionen:

     a) Plotten (Amiga-P)
        Mit diesem Menüpunkt wird das Erzeugen des Bildes veran-
        laßt. Es wird dabei auf das Bildbereich-Window umge-
        schaltet.

     b) Kopieren (Amiga-K)
        Hiermit kann man den Inhalt des Bildbereich-Speichers in
        den Definitionsbereich übertragen, also das Ergebnis des
        Plottens bearbeiten. Dabei wird die Zeichnung, die sich
        gerade im Definitionsbereich befindet, überschrieben.

     c) Alles Löschen (Amiga-L)
        Mit diesem Punkt wird der gesamte Inhalt des Defini-
        tionsbereich-Speichers gelöscht.

     d) Programmende
        Damit wird das Programm verlassen.


     2) Windows:

     a) Einstellungen (Amiga-E)
        Will man etwas an den Einstellungen, also z.B. dem Funk-
        tionsterm, ändern, muß man diesen Menüpunkt anwählen.

     b) Bildbereich (Amiga-B)
        Mit diesem Menüpunkt schaltet man auf das Bildbereich-
        Window, und man kann sich ein geplottetes Bild wieder
        ansehen.

     c) Angleichen (Amiga-A)
        Hiermit werden die Grenzen des Windows der gezeichneten
        Figur angepaßt, so daß die Figur genau in das Window
        paßt. Das ist z.B. sinnvoll, um Vergrößerungen des fol-
        genden Menüpunktes rückgängig zu machen.

     d) Ausschnitt (Amiga-M)
        Möchte man sich einen Teil des Bildes genauer ansehen,
        kann man diesen Menüpunkt anwählen und dann mit der Maus
        einen Ausschnitt markieren. Die Windowgrenzen werden
        dann entsprechend verändert.

     e) Herauszoomen (Amiga-Z)
        Wenn man einen guten Überblick über die gesamte Zeich-
        nung bekommen möchte, kann man den Bildausschnitt mit
        dieser Funktion vergrößern, indem die Grenzen um das
        doppelte verbreitert werden. Ein Angleichen mit einem
        folgenden Herauszoomen vermittelt einem oft den besten
        Überblick über die gesamte Figur.


     3) Zeichenmodus:

     a) Zeichnen (Amiga-1)
        Dies ist der Modus, mit dem man mit der Maus frei auf
        der Windowfläche herumzeichnen kann. Mit der linken Mau-
        staste werden die Punkte und Striche gesetzt.

     b) Linien (Amiga-2)
        Mit diesem Modus kann man zwei Punkte mit einer Linie
        verbinden. Dazu fährt man den Mauszeiger auf den ersten
        Punkt, drückt die linke Maustaste und fährt bei gedrück-
        ter Taste auf den zweiten Punkt. Dann braucht man nur
        noch die Maustaste loszulassen.

     c) Kreise (Amiga-3)
        Wenn man Kreise zeichnen möchte, kann man das mit diesem
        Zeichenmodus tun. Man wählt den Kreismittelpunkt aus und
        bestimmt dann bei gedrückter linker Maustaste einen
        Punkt auf der Kreislinie. Man sollte beachten, daß dies
        Kreise im Definitionsbereich sind, und auf dem Bildschirm
        wie Ellipsen aussehen können, entsprechend dem Verhält-
        nis der Windowgrenzen.

     d) Füllen (Amiga-4)
        Um Flächen zu füllen, bedient man sich dieses Zeichenmo-
        dus. Man kann dann mit der Maus die Punkte anklicken, um
        die gefüllt werden soll. Mit der Füllfunktion sollte man
        vorsichtig sein, da die zu füllenden Flächen wirklich
        geschlossen sein müssen, um nicht das Bild zu vermat-
        schen.

     e) Undo (Amiga-U)
        Mit diesem Menüpunkt wird die zuletzt gezeichnete Figur
        wieder zurückgenommen (Punktezug, Linie, Kreis, Füllung,
        Fischernetz oder Spinnennetz).


     4. Figuren:

     a) Fischernetz (Amiga-5)
        Mit diesem Punkt ruft man den Figurengenerator des Fi-
        schernetzes auf. Es erscheint ein Eingabewindow, in dem
        die Parameter des Netzes eingegeben werden können. Das
        Netz wird generiert, wenn man den Start-Knopf anklickt
        oder die Eingabe des letzten Parameters mit der Enterta-
        ste abschließt. Mit dem Abbruch-Knopf kann man die Mu-
        stererzeugung verwerfen.

     b) Spinnennetz (Amiga-6)
        Die Generation des Spinnennetzes wird genauso gehandhabt
        wie die des Fischernetzes.

     c) Laden (Amiga-7)
        Natürlich kann man fertige Zeichnungen auch abspeichern.
        Mit dieser Funktion kann man auf Diskette oder Festplat-
        te befindliche Figuren laden. Dabei wird eine im Spei-
        cher befindliche Zeichnung überschrieben. Der Filereque-
        ster bietet Funktionen zum Durchsehen von Verzeichnis-
        sen, Laufwerksanwahl, Scrollknöpfe, direkte Pfad- und
        Filenamensangabe, und Doppelklicken eines Filenamens.

     d) Speichern (Amiga-8)
        Dieser Punkt dient zum Speichern des Definitionsbereichs
        und ist genauso zu handhaben wie das Laden.

    Beim Zeichnen sollte man Bedenken, daß sämtliche Koordinaten
    der Arbeitsvorgänge gespeichert werden, und je mehr Koordi-
    naten vorhanden sind, desto länger dauert die Berechnung der
    Abbildung. Außerdem ist der Koordinatenspeicher auf 3000
    Punkte beschränkt, was für vernünftige Dinge voll ausreicht.



    2.4 Bildbereich-Window

    In diesem Window wird das Ergebnis des Plots dargestellt.
    Ist der Automatik-Modus aktiviert, werden beim Aufrufen die-
    ses Windows automatisch die Grenzen dem Bild angepaßt. Auf
    der Windowleiste werden die Grenzen den Windows angezeigt.

    Es existieren die gleichen Window-Funktionen wie beim Defi-
    nitionsbereich-Editor, nur daß die Ausschnittfunktion stän-
    dig aktiviert ist. Das bedeutet, daß man jederzeit Aus-
    schnitte des Bildes vergrößern kann, ohne extra eine Menü-
    funktion aufrufen zu müssen.

    Mit der Copy&Plot-Funktion kann man das Bild in den Defini-
    tionsbereich übertragen und erneut berechnen lassen, so daß
    bei mehrmaliger Verwendung die Figur "animiert" wird. Das
    ist manchmal nett anzusehen, und nützt bei der Suche von
    Fixpunkten einer komplexen Funktion. (Fixpunkte sind Punkte,
    die durch die Funktion auf sich selbst abgebildet, also
    nicht verändert werden.)

    Die Funktionen der Menüleiste sind also schnell erklärt:

     1. Grundfunktionen:

     a) Plotten (Amiga-P)
        Mit dieser Menüfunktion wird das Berechnen des Bildes
        aus dem Definitionsbereich veranlaßt.

     b) Kopieren (Amiga-K)
        Die Figur des Bildbereichs wird in den Definitionsbe-
        reich übertragen, wobei eine Figur des Definitionsbe-
        reichs überschrieben wird. Danach wird auf das Defini-
        tionsbereich-Window geschaltet.

     c) Copy&Plot (Amiga-R)
        Diese Funktion führt die Punkte Kopieren und Plotten
        hintereinander aus (ohne zwischendurch die Windows umzu-
        schalten). Siehe oben.

     d) Programmende
        Für die, die genug von diesem Programm haben.


     2. Windows:

     a) Einstellungen (Amiga-E)
        Mit dieser Funktion wird wieder auf das Einstellungs-
        Window geschaltet, wo man die komplexe Funktion und die
        Grenzen editieren kann.

     b) Definitionsbereich (Amiga-D)
        Um wieder in den Definitionsbereich-Editor zu gelangen,
        muß man diesen Menüpunkt benutzen.

     c) Angleichen (Amiga-A)
        Damit kann man die Grenzen des Windows der Figur anglei-
        chen. Diese Funktion wird beim Umschalten auf das Bild-
        bereich-Window automatisch aufgerufen, wenn in den Eins-
        tellungen der Automatik-Modus aktiviert wurde.

     d) Herauszoomen (Amiga-Z)
        Mit diesem Menüpunkt werden die Intervalle des Windows
        in beide Richtungen verdoppelt, so daß das Bild verklei-
        nert wird. Dies eignet sich auch zum Rückgängig machen
        von der Wahl von Ausschnitten.



    3. Beschreibungen komplexer Funktionen

    Nun ist es von starkem Nutzen, zu wissen, was die ver-
    schiedenen komplexen Funktionen mit den einzelnen Bildern
    machen, die man im Definitionsbereich-Editor angelegt hat.
    Darüber kann man Bücher schreiben, deshalb folgen hier nur
    einige elementare Abbildungen, sowie ein paar grobe qualita-
    tive Beschreibungen diverser Grundfunktionen.

    Bei komplizierteren Funktionen hilft oft nur "Probieren geht
    über Studieren"; dieses Programm hat ja u.a. auch den Zweck,
    das Verhalten komplexer Funktionen zu veranschaulichen.


    3.1 Verschiebungen

    Die Figur kann ganz leicht verschoben werden, indem man eine
    beliebige komplexe Zahl addiert. Die Addition von komplexen
    Zahlen entspricht der Vektoraddition. Wenn man also seine Figur
    z.B. um 2 nach rechts und 1 nach oben verschieben möchte, kann
    man dazu die Funktion

          f(z) = z + 2+i

    verwenden.


    3.2 Streckungen

    Die einfache Streckung einer Figur erreicht man mit der Mul-
    tiplikation mit reellen Zahlen, z.B. wird eine Figur mit der
    Funktion

          f(z) = 2*x + .5*i*y

    doppelt so breit und halb so hoch.


    3.3 Einfache Spiegelungen/Drehungen

    Um die Figur an der reellen Achse zu spiegeln, bietet sich
    die Funktion

          f(z) = con(z)

    an, die die komplexen Zahlen konjugiert (Imaginärteil negiert).

    Wenn man eine komplexen Zahl negiert, wird sie am Ursprung
    punktgespiegelt:

          f(z) = -z

    Wenn man die Figur an der Winkelhalbierenden des 1./3. Qua-
    dranten spiegeln möchte, geht dies direkt mit der Funktion
    zum Vertauschen von Real- und Imaginärteil:

          f(z) = swap(z)

    Um die Figur um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn zu drehen,
    kann man die Punkte mit i multiplizieren:

          f(z) = i*z


    3.4 Beliebige Drehungen

    Eine Drehung kann auf verschiedene Arten erreicht werden.
    Die erste ist die Multiplikation mit einer komplexen Zahl.
    Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen werden nämlich
    die Winkel addiert und die Beträge multipliziert.

    Um also z.B. um einen Winkel von 45 Grad gegen den Uhrzei-
    gersinn zu drehen, muß man die Punkte der Figur mit der kom-
    plexen Zahl multiplizieren, die einen Winkel von 45 Grad und
    den Betrag 1 hat, nämlich sqrt(.5)+sqrt(.5)*i:

          f(z) = (sqrt(.5)+sqrt(.5)*i)*z

    Eine andere Möglichkeit wäre, die Schreibweise in Polarkoor-
    dinaten zu nehmen und einfach den Drehwinkel hinzuzuaddieren:

          f(z) = abs(z)*exp(i*(arg(z)+pi/4))

    Diese Funktion dreht um pi/4, also ebenfalls um 45 Grad ge-
    gen den Uhrzeigersinn.

    Und man kann die aus der linearen Algebra stammenden Matri-
    zen der speziellen orthogonalen Gruppe nehmen, um eine Dre-
    hung zu erreichen. Hier die entsprechende Funktion für eine
    Drehung um 45 Grad:

        f(z) = x*cos(pi/4)+y*sin(pi/4)+i*(y*cos(pi/4)-x*sin(pi/4))

    Alle drei Methoden sind mathematisch gesehen natürlich
    äquivalent.


    3.5 Die Parabel z^2

    Zur Demonstration der komplexen Parabel bietet es sich an,
    folgendes Fischernetz zu nehmen:

       Grenzen: Links: -3  Rechts: 3  Oben: 2  Unten: 1
       Unterteilungen: Horizontal: 25  Vertikal:1

    Dieses Band wird parabelförmig um den Ursprung gebogen.


    3.6 Die Hyperbel 1/z

    Zur Verdeutlichung einiger einfacher Aspekte dieser Funktion
    nimmt man am besten ein Spinnennetz mit der Mitte im Ur-
    sprung. Dann wird diese Figur auf eine spinnennetzähnliche
    Struktur abgebildet, bei der die Kreise zur Mitte hin dich-
    ter werden, um dann abrupt aufzuhören. Dies liegt daran,
    daß die Funktion für z=0 nicht definiert und dort singular
    ist (einen Pol hat). Das äußert sich in der Verdichtung
    der Ringe zur Mitte hin.


    3.7 Die trigonometrischen Funktionen

    Die trigonometrischen Funktionen haben im Komplexen ziemlich
    vielfältige Effekte. Für gewöhnlich haben sie die Eigen-
    schaft, Punkte, die eine gewisse Entfernung vom Ursprung
    haben, noch wesentlich weiter wegzukatapultieren. Also soll-
    te man sich auf Figuren beschränken, die in der Nähe des
    Ursprungs sind, nicht weiter weg als ca. 4 Einheiten.

    Wenn man z.B. die Sinusfunktion nimmt, wird die Figur sowohl
    verbogen als auch in verschiedene Richtungen gedehnt.

    Die trigonometrischen und die hyperbolischen Funktionen sind
    im Komplexen nahe mit der Exponentialfunktion verwandt.


    3.8 Die Exponentialfunktion und der Logarithmus

    Die Exponentialfunktion dreht entsprechend dem Imaginärteil
    der Zahl und vergrößert exponentiell entsprechend dem Real-
    teil der Zahl. Das hat zur Folge, daß Figuren entlang der
    reellen Achse immer stärker gedehnt und entlang der imagi-
    nären Achse immer stärker gedreht werden.

    Der Logarithmus bildet alles auf einen horizontalen Streifen
    der Breite 2*pi ab, da im(log(z))=arg(z), und arg(z) als der
    Winkel der komplexen Zahl z kann nur Werte zwischen -pi und
    pi annehmen.



    4. Beispiele und Anregungen


    4.1 Auf Diskette befindliche Figuren

    In dem Verzeichnis "Plotter/DefPics" befinden sich einige
    Beispielfiguren, die in den Definitionsbereich-Editor geladen
    werden können.

    Die Figuren "Quadrants", "QuadrantsII" und "Bar" sollen
    demonstrieren, daß man die Generatoren für das Fischer- und
    Spinnennetz auch verwenden kann, um umfangreichere Figuren
    zu erzeugen. Sie eignen sich auch gut, um die Eigenschaften
    komplexer Funktionen anzuzeigen.

    Die Figuren "Tree", "Lemming" und "Binky" zeigen, wie man
    mit der Maus durchaus ansehnliche Figuren zeichnen kann.
    Außerdem macht es mehr Spaß, echte Bildchen durch komplexe
    Funktionen abzubilden, als einfache Netze.

    Ich kann empfehlen, als Einstieg einmal "Putzi" zu laden
    (wie das geht, siehe Kapitel 2.3) und darauf die diversen
    komplexen Funktionen auszutesten.  So sieht man an dieser
    Figur eindrucksvoll die Auswirkungen der Funktionen exp(z),
    log(z), sqrt(z), sin(z), cos(z), tan(z/2), sinh(z) u.a.
    So macht Mathematik Spaß, und dafür ist dieses Programm
    wie schon öfter gesagt u.a. auch gedacht.


    4.2 Emulation anderer Funktionsplotter-Typen

    Da die reellen Zahlen nur eine Teilmenge der komplexen Zah-
    len sind, ist es möglich, mit diesem Programm diverse andere
    Typen an Funktionsplottern zu emulieren. Das erhöht den Nut-
    zen vom KomplexPlotter noch einmal erheblich.


    4.2.1 "Klassischer" Funktionsplotter von R nach R

    Wenn man eine reelle Funktion g(x) im Intervall [a;b] auf
    die dafür übliche Art darstellen will, kann man das auf fol-
    gende Weise tun:

    Als erstes geht man in den Definitionsbereich-Editor und
    definiert sich folgende Figur:

       Grenzen: Links: a  Rechts: b  Oben: 0  Unten: -1
       Unterteilungen: Horizontal: 640  Vertikal: 0

    Es erscheint ein horizontaler Strich. Nun trägt man im Ein-
    stellungswindow als Funktion ein:

          f(z) = x+i*g(x)

    Und schon kann man die Funktion plotten. Für g(x), a und b
    sind natürlich die gewünschten Werte einzusetzen (z.B.
    sin(x), -2*pi und 2*pi).

    Wenn man eine kleinere Anzahl an horizontalen Unterteilungen
    nimmt, verkürzt sich die Rechenzeit. Das Ergebnis ist meist
    noch gut, wenn die Zahl einen Wert von 100 nicht unter-
    schreitet.


    4.2.2 "3D-" Funktionsplotter von RxR nach R

    Diese Art von Funktionsplotter erzeugt die schön anzusehen-
    den Netzgrafiken, in der die Argumente als X- und Y-, und
    die Funktionswerte als Z-Koordinate interpetiert werden.
    Auch das kann man emulieren. Im Definitionsbereich-Editor
    muß man sich dazu ein Netz generieren. Das ist in diesem
    Falle üblicherweise ein quadratisches Fischernetz. Spinnen-
    netze mit der Mitte im Ursprung eignen sich zum Abbilden von
    rotationssymmetrischen Funktionen. Aber auch jede andere Figur
    kann man abbilden.

    Dann gibt man im Einstellungs-Window als Funktion ein:

          f(z) = x+y/2+i*(y/2+g(x,y))

    Für g(x,y) ist die entsprechende Funktion einzusetzen, z.B.

          sin(x+y)
          1/(.5+x^2+y^2)
          exp(x+y)

    Der einzige Nachteil ist, daß die verdeckten Linien mitge-
    zeichnet werden.


    4.2.3 Funktionsplotter von R nach RxR

    Relativ selten anzutreffen sind Plotter, die Funktionen ab-
    bilden, die aus einer Variablen eine zweidimensionale Koor-
    dinate erzeugen. Bekanntestes Beispiel dafür sind die soge-
    nannten Lissajouz-Figuren, welche nämlich dann auftreten,
    wenn die Funktion periodisch ist. Das Programm "OSZI AMIGA"
    beschäftigt sich ausgiebigst damit.

    Will man solch eine Funktion mit dem KomplexPlotter darstel-
    len, ist folgender Weg zu beschreiten:

    Als Definitionsbereich-Figur nimmt man wie in 4.2.1 einen
    horizontalen Strich. Als Funktion trägt man ein:

          f(z) = gx(x)+i*gy(x)

    Zum Beispiel erzeugt

          f(z) = sin(x)+i*cos(x+.2*x)

    eine in sich geschlossene Lissajouz-Figur (bei geeigneter
    Wahl eines Intervalls für x). Man kann natürlich auch
    nichtperiodische Funktionen verwenden.



    5. Schluß

    Ich hoffe, ich konnte mit dieser Anleitung den Nutzen des
    Programms verdeutlichen.

    Für die meisten Menschen bietet das Programm Einiges zum
    Herumexperimentieren. Mathematisch bewanderte können das
    Programm natürlich auch mehr angewandt orientiert einsetzen.

    Wie auch immer, ich wünsche damit viel Spaß !



    Michael Gentner